Liczby koliste to liczby n-1 cyfrowe, które mają taką własność, że pomnożone przez 1,2,3,...,n-1 tworzą permutację liczby wejściowej, czyli zawierają dokładnie te same cyfry w poprzestawianej kolejności.
Ponieważ liczby te są skończonymi okresami odwrotności liczb pierwszych, muszą one spełniać warunek 10^(n-1) ≡ 1 (mod n).
Kilka pierwszych liczb, które spełniają tę zależność to: 7, 17, 19, 23, 29...

A wynikające z nich liczby koliste to:
1/7 = 0,(142857)... -> 142857
1/17 = 0,(0588235294117647)... -> 588235294117647
1/19 = 0,(052631578947368421)... -> 52631578947368421
1/23 = 0,(0434782608695652173913)... -> 434782608695652173913
1/29 = 0,(0344827586206896551724137931)... -> 344827586206896551724137931
itd.

Permutacje, które występują na obrazku, może też przestawić w taki sposób, aby lepiej zobrazować "rotację" o jedną pozycję.

1 * 142857 = 1 4 2 8 5 7
5 * 142857 = 7 1 4 2 8 5
4 * 142857 = 5 7 1 4 2 8
6 * 142857 = 8 5 7 1 4 2
2 * 142857 = 2 8 5 7 1 4
3 * 142857 = 4 2 8 5 7 1

Na ten moment nie istnieje w pełni formalny i kompletny dowód tego, czy liczb kolistych jest skończenie, czy nieskończenie wiele. Wysunięto jednak hipotezę, że jest ich nieskończenie wiele, gdyż ułamek liczb pierwszych generujących liczby koliste przypadających na wszystkie liczby pierwsze będzie dążył do stałej Artina: https://mathworld.wolfram.com/images/equations/ArtinsConstant/NumberedEquation1.svg

Z liczbami kolistymi powiązane jest też inna ciekawa zależnośc opisana przez twierdzenie Midy'ego. Jeżeli liczbę "podzielimy" na dwie połowy (jeśli liczba ma nieparzystą liczbę cyfr musimy poprzedzić ją 0) sumą zawsze będą same 9.

142 + 857 = 999
571 + 428 = 999
052631578 + 947368421 = 999999999
Będzie to prawda dla każdej dostępnej permutacji w obrębie liczb kolistych.

Źródła:
https://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html

@misterio Bardzo ciekawe to jest.
Matematyka jest językiem wszechświata w końcu :)